Conceitualmente falando, a trigonometria é a parte da matemática que estuda as relações existentes entre os lados e os ângulos dos triângulos. Este conteúdo ensinado na escola é fundamental para a vida de todos. A origem é incerta, mas especula-se que foi no início do desenvolvimento da trigonometria aconteceu para resolver os problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios.
Para se ter uma ideia, é possível encontrar problemas envolvendo a cotangente no Papiro Rhind (documento egípcio de cerca de 1.650 a.C). Uma outra relíquia histórica, a tábula cuneiforme babilônica Plimpton 322 (tabela de argila em escrita cuneiforme com registros da matemática babilônica) é encontrada uma tábua de secantes.
Como a base da trigonometria são os triângulos, podemos utilizá-los para medir a altura das montanhas. Evidentemente que haverá uma variação entre o valor obtido com o real, mas mesmo assim é possível obter números interessantes a partir do raciocínio trigonométrico. Desde a antiguidade existem vários métodos de medir a altura de uma montanha. A ciência que se dedica medir terras é a Agrimensura. Porém, como este é um artigo para abordar maneiras básicas de medição de montanhas, cálculos de agrimensura não serão explicados.
Como dito acima, existem muitas maneiras de medir a altura de uma montanha, algumas exigem um pouco mais de trabalho que outras. Uma delas é usando a pressão atmosférica, utilizando um barômetro (aparelho que mede a pressão atmosférica). Porém, este tipo de medição é necessário que a pessoa primeiro suba a montanha, faça a medição lá, e depois faça o mesmo na base. Como a pressão é menor no cume, a partir de alguns cálculos matemáticos é possível estabelecer a altura.
Porém a utilização de um barômetro é um tanto quanto impraticável, pois seria necessário primeiro subir a uma montanha para depois saber a sua altura. Este “método” de medição de montanha somente foi possível a partir de 1643, quando Evangelista Torricelli criou o primeiro barômetro com tubo de vidro com mercúrio.
Foto: Evangelista Torricelli
Uma outra maneira, esta mais científica e exata, é utilizando um teodolito, que é um instrumento de precisão óptico que mensura ângulos verticais e horizontais, utilizado por diversos setores como, por exemplo, construção civil, agricultura, agrimensura, topografia e geografia. Os primeiros teodolitos rudimentares foram inventados por volta de 1571, por Leonard Digges.
Tanto o barômetro (inventado em 1643), quanto o teodolito (inventado em 1571), são posteriores ao desenvolvimento da trigonometria. Portanto, como os egípcios e babilônicos conseguiam realizar agrimensura e medição de terras? A resposta é simples: com trigonometria. Para isso, baste ter duas distâncias horizontais a um ponto determinado e seus ângulos. A maneira de identificar os ângulos de uma montanha está na figura abaixo.
Formado em Engenharia Civil e Ciências da Computação, começou a escalar em 2001 e escalou no Brasil, Áustria, EUA, Espanha, Argentina e Chile. Já viajou de mochilão pelo Brasil, EUA, Áustria, República Tcheca, República Eslovaca, Hungria, Eslovênia, Itália, Argentina, Chile, Espanha, Uruguai, Paraguai, Holanda, Alemanha, México e Canadá. Realizou o Caminho de Santiago, percorrendo seus 777 km em 28 dias. Em 2018 foi o único latino-americano a cobrir a estreia da escalada nos Jogos Olímpicos da Juventude e tornou-se o primeiro cronista esportivo sobre escalada do Jornal esportivo Lance! e Rádio Poliesportiva.
Acredito que essa fórmula esteja errada. Perceba, o resultado final diz que a altura da montanha é de 63,6m. Porém, na primeira parte do cálculo é dito que x + 100 = h / t(45). Repare que tangente de 45 é igual a 1! Ou seja, se a altura da montanha é de 63,6m, a conta, pondo valores, ficaria x + 100 = 63,6 / 1!
O valor de X claramente não é um número negativo.
Testei a altura da montanha usando tanto desenhos em escala quanto por fórmula. Nos dois casos obtive um resultado de 157,22m.
a = 45º
b = 70º
x = 100m
A fórmula nesse caso fica:
sen(a).x.(cos(a) + sen(a).tan(90+a-b))
para a última imagem que possui ângulos de 16 e 22 graus, a altura obtida foi de 98,78m. O que batem perfeitamente com os desenhos técnicos que criei.